Giới hạn của sin ⁡ θ θ {\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }}} khi θ → 0

Đường tròn tâm O bán kính r

Cho đường tròn tâm O bán kính r (hình bên). Gọi θ là góc tại O tạo bởi OA và OK. Do ta giả định θ tiến dần tới 0, có thể xem θ là một số dương rất nhỏ: 0 < θ ≪ 1.

Gọi: R1 là diện tích tam giác OAK, R2 là diện tích hình quạt OAK, R3 là diện tích tam giác OAL. Dễ thấy:

( R 1 ) < ( R 2 ) < ( R 3 ) . {\displaystyle (R_{1})<(R_{2})<(R_{3})\,.}

Dùng công thức lượng giác, tính được diện tích tam giác OAK là

1 2 × | | O A | | × | | O K | | × sin ⁡ θ = 1 2 r 2 sin ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\times ||OA||\times ||OK||\times \sin \theta ={\frac {1}{2}}r^{2}\sin \theta \,.}

Diện tích hình quạt OAK là 1 2 r 2 θ {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\theta } , còn diện tích tam giác OAL là

1 2 × | | O A | | × | | A L | | = 1 2 × r × r tan ⁡ θ = 1 2 r 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\times ||OA||\times ||AL||={\frac {1}{2}}\times r\times r\tan \theta ={\frac {1}{2}}r^{2}\tan \theta \,.}

Từ đó ta có:

( R 1 ) < R 2 ) < ( R 3 ) ⟺ 1 2 r 2 sin ⁡ θ < 1 2 r 2 θ < 1 2 r 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle (R_{1})<R_{2})<(R_{3})\iff {\frac {1}{2}}r^{2}\sin \theta <{\frac {1}{2}}r^{2}\theta <{\frac {1}{2}}r^{2}\tan \theta \,.}

Vì r > 0 ta chia bất đẳng thức trên cho ½·r2. Ngoài ra, vì 0 < θ ≪ 1 dẫn đến sin(θ) > 0, ta có thể chia bất đẳng thức cho sin(θ), từ đó:

1 < θ sin ⁡ θ < 1 cos ⁡ θ ⟹ 1 > sin ⁡ θ θ > cos ⁡ θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}

Theo định lý kẹp ta có

lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}

Trong trường hợp θ là số âm rất nhỏ là tiến dần tới 0, tức là: –1 ≪ θ < 0, sử dụng tính chất lẻ của hàm sin ta được:

lim θ → 0 − sin ⁡ θ θ = lim θ → 0 + sin ⁡ ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − sin ⁡ θ − θ = lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}

Và do đó:

lim θ → 0 sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}

Giới hạn của cos ⁡ θ − 1 θ {\displaystyle {\frac {\cos \theta -1}{\theta }}} khi θ → 0

Ta có

lim θ → 0 ( cos ⁡ θ − 1 θ ) = lim θ → 0 [ ( cos ⁡ θ − 1 θ ) ( cos ⁡ θ + 1 cos ⁡ θ + 1 ) ] = lim θ → 0 ( cos 2 ⁡ θ − 1 θ ( cos ⁡ θ + 1 ) ) . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left[\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\right]=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos ^{2}\theta -1}{\theta (\cos \theta +1)}}\right).}

Vì sin2θ + cos2θ = 1 nên cos2θ – 1 = –sin2θ. Do đó

lim θ → 0 ( cos ⁡ θ − 1 θ ) = lim θ → 0 ( − sin 2 ⁡ θ θ ( cos ⁡ θ + 1 ) ) = lim θ → 0 ( − sin ⁡ θ θ ) × lim θ → 0 ( sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ) = ( − 1 ) × 0 2 = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {-\sin \theta }{\theta }}\right)\times \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)=(-1)\times {\frac {0}{2}}=0\,.}

Đạo hàm của hàm sin

Theo định nghĩa đạo hàm:

d d θ sin ⁡ θ = lim δ → 0 ( sin ⁡ ( θ + δ ) − sin ⁡ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}\right).}

Dùng công thức biến đổi lượng giác sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

d d θ sin ⁡ θ = lim δ → 0 ( sin ⁡ θ cos ⁡ δ + sin ⁡ δ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ δ ) = lim δ → 0 [ ( sin ⁡ δ δ cos ⁡ θ ) + ( cos ⁡ δ − 1 δ sin ⁡ θ ) ] = ( 1 × cos ⁡ θ ) + ( 0 × sin ⁡ θ ) = cos ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}\right)=\lim _{\delta \to 0}\left[\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta \right)+\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right)\right]=(1\times \cos \theta )+(0\times \sin \theta )=\cos \theta \,.}

Đạo hàm của hàm cos

Theo định nghĩa:

d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 ( cos ⁡ ( θ + δ ) − cos ⁡ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}\right).}

Dùng công thức biến đổi lượng giác cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 ( cos ⁡ θ cos ⁡ δ − sin ⁡ θ sin ⁡ δ − cos ⁡ θ δ ) = lim δ → 0 [ ( cos ⁡ δ − 1 δ cos ⁡ θ ) − ( sin ⁡ δ δ sin ⁡ θ ) ] = ( 0 × cos ⁡ θ ) − ( 1 × sin ⁡ θ ) = − sin ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}\right)=\lim _{\delta \to 0}\left[\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \right)-\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right)\right]=(0\times \cos \theta )-(1\times \sin \theta )=-\sin \theta \,.}